Curve Modeling T1 (Kata Pengantar , Bab I , Bab II) Part 3

BAB II

Penjelasan

Model Kurva

Kurva adalah garis dan ruas garis yang membentuk kurva – kurva sederhana. Kurva dapat digambarkan dengan bermacam – macam bentuk, bentuknya bisa teratur bisa juga tidak teratur.

Kurva dibagi menjadi beberapa contoh yaitu :

1. Kurva Spline

Sejarah

Sebelum komputer digunakan , perhitungan numerik dilakukan dengan tangan . Fungsi seperti fungsi langkah yang digunakan tetapi polinomial umumnya disukai . Dengan munculnya komputer , splines pertama diganti polinomial dalam interpolasi , dan kemudian disajikan dalam bentuk pembangunan halus dan fleksibel dalam komputer grafis .

Hal ini umumnya diterima bahwa referensi matematika pertama yang splines adalah 1.946 kertas dengan Schoenberg , yang mungkin adalah tempat pertama bahwa kata ” spline ” digunakan sehubungan dengan halus, piecewise polinomial pendekatan . Namun, ide ini berakar pada pesawat dan industri pembuatan kapal .

Dalam kata pengantar ( Bartels et al . , 1987) , Robin Forrest menjelaskan ” lofting ” , teknik yang digunakan dalam industri pesawat terbang Inggris selama Perang Dunia II untuk membangun template untuk pesawat terbang dengan melewati strip kayu tipis ( disebut ” splines ” ) melalui titik diletakkan di lantai loteng desain besar , teknik dipinjam dari desain kapal -hull .

Selama bertahun-tahun praktek desain kapal telah dipekerjakan untuk merancang model di kecil . Keberhasilan desain kemudian diplot pada kertas grafik dan poin-poin penting dari plot itu kembali diplot pada kertas grafik yang lebih besar untuk ukuran penuh . Strip kayu tipis memberikan interpolasi poin-poin penting dalam kurva halus . Strip akan diadakan di tempat pada titik-titik diskrit ( menggunakan beban memimpin , yang disebut ” bebek ” oleh Forrest (lihat Spline Ducks untuk ilustrasi ) ; Schoenberg digunakan ” anjing ” atau ” tikus ” ) dan antara titik-titik akan menganggap bentuk minimum energi regangan .

Menurut Forrest , satu dorongan yang mungkin untuk model matematis untuk proses ini adalah potensi kerugian dari desain komponen penting untuk seluruh pesawat harus loteng terkena bom musuh . Hal ini melahirkan ” kerucut lofting ” , yang digunakan irisan kerucut untuk memodelkan posisi kurva antara bebek .

Lofting kerucut digantikan oleh apa yang kita sebut splines pada awal tahun 1960 berdasarkan karya JC Ferguson di Boeing dan ( agak belakangan ) oleh MA Sabin di British Aircraft Corporation . Kata ” spline ” awalnya dalam dialek Anglia Timur .

Penggunaan splines untuk badan mobil model tampaknya memiliki beberapa awal independen. Kredit diklaim atas nama de Casteljau di Citroen , Pierre Bezier di Renault , dan Birkhoff , Garabedian , dan de Boor di General Motors (lihat Birkhoff dan de Boor , 1965) , semua untuk pekerjaan yang terjadi di tengah- awal 1960-an atau 1950-an. Setidaknya satu kertas de Casteljau itu diterbitkan, tetapi tidak banyak , pada tahun 1959 .Karya De Boor yang di General Motors menghasilkan sejumlah makalah yang diterbitkan pada awal tahun 1960 , termasuk beberapa pekerjaan fundamental di B - splines .

Pekerjaan juga sedang dilakukan di Pratt & Whitney Pesawat , di mana dua dari penulis pertama pengobatan buku - panjang splines ( Ahlberg et al , 1967. ) [ 13 ] dipekerjakan , dan David Taylor Model Basin , oleh Feodor Theilheimer . Pekerjaan di General Motors adalah rinci baik di Birkhoff ( 1990) dan Young ( 1997) . [ 14 ] Davis ( 1997) meringkas beberapa bahan ini .

Dalam matematika, sebuah spline adalah khusus fungsi didefinisikan piecewise oleh polinomial. Dalam interpolating masalah, spline interpolasi sering lebih suka polinomial interpolasi karena menghasilkan hasil yang sama, bahkan ketika menggunakan rendah derajat polinomial, sementara menghindari Runge's fenomena yang lebih tinggi derajat. Dalam ilmu computer subbidang dibantu komputer-komputer desain dan grafis, istilah “spline” lebih sering merujuk pada sebuah polynomial (parametrik) kurva. Dalam ilmu komputer subbidang yang dibantu komputer desain dan komputer grafis, istilah "spline" lebih sering merujuk pada sebuah piecewise polinomial (parametrik) Kurva. Kurva Splines populer dalam subbidang ini karena kesederhanaan konstruksi mereka, mereka kemudahan dan akurasi evaluasi, dan kapasitas mereka untuk perkiraan kompleks melalui pemasangan kurva bentuk dan desain kurva interaktif. Kurva Splines populer dalam Kesederhanaan subbidang konstruksi ini karena mereka, mereka Kemudahan dan akurasi evaluasi, dan kapasitas mereka untuk bentuk kompleks Perkiraan Kurva melalui pemasangan dan Kurva desain interaktif. Istilah spline berasal dari spline fleksibel perangkat yang digunakan oleh pembuat kapal dan draftsmen untuk menggambar bentuk halus. Berasal dari istilah spline spline fleksibel Perangkat yang Digunakan oleh pembuat kapal dan draftsmen untuk Menggambar bentuk halus. Istilah "spline" Digunakan untuk merujuk kepada berbagai kelas fungsi yang Digunakan dalam aplikasi yang Memerlukan interpolasi data dan / atau smoothing. Data dapat berupa satu dimensi atau multi-dimensi. Data dapat berupa satu dimensi atau multi-dimensi. Fungsi untuk interpolasi spline biasanya ditetapkan sebagai langkah yang tepat minimizers dari kekasaran (misalnya integral kuadrat kelengkungan) tunduk pada interpolasi kendala.Fungsi untuk interpolasi spline biasanya ditetapkan Sebagai langkah yang tepat minimizers dari kekasaran (Misalnya terpisahkan Kuadrat kelengkungan) tunduk pada interpolasi kendala. Splines smoothing dapat dipandang sebagai generalisasi dari interpolasi splines di mana fungsi ditentukan untuk memperkecil kombinasi yang berbobot rata-rata kuadrat kesalahan pendekatan di atas diamati data dan mengukur kekasaran. Merapikan Splines Sebagai Generalisasi dapat dipandang dari interpolasi splines di mana fungsi ditentukan untuk memperkecil Kombinasi yang berbobot rata-rata Pendekatan Kuadrat kesalahan data yang diamati di atas Mengukur dan kekasaran. Untuk sejumlah bermakna definisi dari kekasaran ukuran, fungsi spline ditemukan di alam dimensi terbatas, yang merupakan alasan utama mereka dalam perhitungan utilitas dan perwakilan. Untuk sejumlah definisi dari kekasaran bermakna ukuran, fungsi spline ditemukan di alam dimensi terbatas, yang Merupakan alasan utama dalam perhitungan mereka Utilitas dan Perwakilan. Untuk sisa dari seksi ini, kita fokus sepenuhnya pada satu dimensi, polinom splines dan menggunakan istilah "spline" dalam pengertian terbatas ini. Untuk sisa dari seksi ini, kita fokus sepenuhnya pada satu dimensi, dan polinom splines Menggunakan istilah "spline" dalam pengertian terbatas ini. Kita mulai dengan diskusi kita membatasi kasus univariat ke polinomial. Dalam kasus ini, sebuah spline adalah fungsi polinom piecewise.Dalam kasus ini, sebuah spline piecewise adalah fungsi polinom. Fungsi ini, sebut saja S, mengambil nilai-nilai dari interval [a, b] dan peta mereka untuk Fungsi ini, Sebut saja S, banteng nilai dari interval [a, b] dan peta untuk mereka, himpunan bilangan real. Kami ingin menjadi piecewise S untuk didefinisikan. Kami ingin menjadi piecewise S untuk didefinisikan. Untuk mencapai hal ini, biarkan interval [a, b] dilindungi oleh k memerintahkan, menguraikan subintervals, Untuk Mencapai hal ini, biarkan interval [a, b] dilindungi oleh k memerintahkan, menguraikan subintervals. Pada masing-masing k "potongan" dari [a, b], kita ingin mendefinisikan sebuah polinomial, sebut saja P i. Pada masing-masing k "potongan" dari [a, b], kita ingin mendefinisikan sebuah polinomial, Sebut saja P i. Pada th i subinterval dari [a, b], S didefinisikan oleh P i, Pada th i subinterval dari [a, b], S didefinisikan oleh P i,. Diberikan k +1 poin t i disebut knot. Diberikan k +1 poin t i Disebut simpul. Vektor vektor disebut vektor untuk simpul spline. Disebut simpul vektor untuk spline. Jika knot adalah equidistantly didistribusikan dalam interval [a, b] kita katakan spline seragam, kalau tidak kita katakan itu adalah non-seragam. Jika potongan polinomial P i masing-masing memiliki derajat paling banyak n, maka spline dikatakan derajat Jika potongan polinomial P i masing-masing memiliki derajat paling banyak n, maka dikatakan spline dari derajat (atau order n +1). (atau order n +1). Suatu fungsi f dikatakan kelas C ∞, atau halus, jika memiliki turunan dari semua perintah. Suatu fungsi f dikatakan kelas C ∞, atau halus, Jika memiliki turunan dari semua perintah. Jika f adalah halus dan jika sama dengan ekspansi deret Taylor di sekitar titik manapun dalam domainnya maka f dikatakan menjadi kelas C ω, atau analitis. Jika f adalah halus dan Jika sama dengan buah berderet-deret Taylor Ekspansi di sekitar titik manapun dalam f maka dikatakan domainnya menjadi kelas C ω, atau analitis. Fungsi Piecewise biasanya tidak analitik di mana potongan-potongan bertemu. Fungsi Piecewise biasanya tidak analitik di mana potongan-potongan Bertemu. Jika Jika di lingkungan yang ti, maka spline dikatakan dari kehalusan (setidaknya) Dalam Suatu lingkungan yang ti, maka dikatakan spline dari kehalusan (setidaknya) di ti. pada t i. Yaitu, pada dua lembar ti P i-1 dan P i Common berbagi nilai-nilai turunan dari turunan ketertiban 0 (nilai fungsi) melalui perintah turunan dari ri (dengan kata lain, kedua potongan polinomial berdekatan berhubungan dengan hilangnya dari kelancaran paling banyak n - ri). Yaitu, pada ti dua keping P i-1 dan P i common berbagi nilai-nilai turunan dari turunan ketertiban 0 (nilai fungsi) melalui perintah turunan dari ri (dengan kata lain, kedua potongan polinomial Menghubungkan berdekatan dengan kelancaran Hilangnya paling banyak n - r . Sebuah Sebuah vektor vektor sedemikian rupa sehingga spline telah sedemikian rupa Sehingga kelancaran telah spline untuk kelancaran di pada ti ti untuk disebut vektor untuk kelancaran spline. Disebut vektor untuk kelancaran spline. Diberi simpul simpul Diberi vektor vektor, gelar n, dan vektor yang halus, Gelar n, dan vektor untuk untuk kelancaran, seseorang dapat mempertimbangkan himpunan semua splines derajat, Seseorang dapat mempertimbangkan himpunan splines semua memiliki derajat dari simpul simpul yg vektor vektor dan vektor dan kSebelum komputer digunakan , perhitungan numerik dilakukan dengan tangan . Fungsi seperti fungsi langkah yang digunakan tetapi polinomial umumnya disukai . Dengan munculnya komputer , splines pertama diganti polinomial dalam interpolasi , dan kemudian disajikan dalam bentuk pembangunan halus dan fleksibel dalam komputer grafis .

Hal ini umumnya diterima bahwa referensi matematika pertama yang splines adalah 1.946 kertas dengan Schoenberg , yang mungkin adalah tempat pertama bahwa kata ” spline ” digunakan sehubungan dengan halus, piecewise polinomial pendekatan . Namun, ide ini berakar pada pesawat dan industri pembuatan kapal .

Dalam kata pengantar ( Bartels et al . , 1987) , Robin Forrest menjelaskan ” lofting ” , teknik yang digunakan dalam industri pesawat terbang Inggris selama Perang Dunia II untuk membangun template untuk pesawat terbang dengan melewati strip kayu tipis ( disebut ” splines ” ) melalui titik diletakkan di lantai loteng desain besar , teknik dipinjam dari desain kapal -hull .

Selama bertahun-tahun praktek desain kapal telah dipekerjakan untuk merancang model di kecil . Keberhasilan desain kemudian diplot pada kertas grafik dan poin-poin penting dari plot itu kembali diplot pada kertas grafik yang lebih besar untuk ukuran penuh . Strip kayu tipis memberikan interpolasi poin-poin penting dalam kurva halus . Strip akan diadakan di tempat pada titik-titik diskrit ( menggunakan beban memimpin , yang disebut ” bebek ” oleh Forrest (lihat Spline Ducks untuk ilustrasi ) ; Schoenberg digunakan ” anjing ” atau ” tikus ” ) dan antara titik-titik akan menganggap bentuk minimum energi regangan .

Menurut Forrest , satu dorongan yang mungkin untuk model matematis untuk proses ini adalah potensi kerugian dari desain komponen penting untuk seluruh pesawat harus loteng terkena bom musuh . Hal ini melahirkan ” kerucut lofting ” , yang digunakan irisan kerucut untuk memodelkan posisi kurva antara bebek .

Lofting kerucut digantikan oleh apa yang kita sebut splines pada awal tahun 1960 berdasarkan karya JC Ferguson di Boeing dan ( agak belakangan ) oleh MA Sabin di British Aircraft Corporation . Kata ” spline ” awalnya dalam dialek Anglia Timur .

Penggunaan splines untuk badan mobil model tampaknya memiliki beberapa awal independen. Kredit diklaim atas nama de Casteljau di Citroen , Pierre Bezier di Renault , dan Birkhoff , Garabedian , dan de Boor di General Motors (lihat Birkhoff dan de Boor , 1965) , semua untuk pekerjaan yang terjadi di tengah- awal 1960-an atau 1950-an. Setidaknya satu kertas de Casteljau itu diterbitkan, tetapi tidak banyak , pada tahun 1959 .Karya De Boor yang di General Motors menghasilkan sejumlah makalah yang diterbitkan pada awal tahun 1960 , termasuk beberapa pekerjaan fundamental di B - splines .

Pekerjaan juga sedang dilakukan di Pratt & Whitney Pesawat , di mana dua dari penulis pertama pengobatan buku - panjang splines ( Ahlberg et al , 1967. ) [ 13 ] dipekerjakan , dan David Taylor Model Basin , oleh Feodor Theilheimer . Pekerjaan di General Motors adalah rinci baik di Birkhoff ( 1990) dan Young ( 1997) . [ 14 ] Davis ( 1997) meringkas beberapa bahan ini .

Dalam matematika, sebuah spline adalah khusus fungsi didefinisikan piecewise oleh polinomial. Dalam interpolating masalah, spline interpolasi sering lebih suka polinomial interpolasi karena menghasilkan hasil yang sama, bahkan ketika menggunakan rendah derajat polinomial, sementara menghindari Runge's fenomena yang lebih tinggi derajat. Dalam ilmu computer subbidang dibantu komputer-komputer desain dan grafis, istilah “spline” lebih sering merujuk pada sebuah polynomial (parametrik) kurva. Dalam ilmu komputer subbidang yang dibantu komputer desain dan komputer grafis, istilah "spline" lebih sering merujuk pada sebuah piecewise polinomial (parametrik) Kurva. Kurva Splines populer dalam subbidang ini karena kesederhanaan konstruksi mereka, mereka kemudahan dan akurasi evaluasi, dan kapasitas mereka untuk perkiraan kompleks melalui pemasangan kurva bentuk dan desain kurva interaktif. Kurva Splines populer dalam Kesederhanaan subbidang konstruksi ini karena mereka, mereka Kemudahan dan akurasi evaluasi, dan kapasitas mereka untuk bentuk kompleks Perkiraan Kurva melalui pemasangan dan Kurva desain interaktif. Istilah spline berasal dari spline fleksibel perangkat yang digunakan oleh pembuat kapal dan draftsmen untuk menggambar bentuk halus. Berasal dari istilah spline spline fleksibel Perangkat yang Digunakan oleh pembuat kapal dan draftsmen untuk Menggambar bentuk halus. Istilah "spline" Digunakan untuk merujuk kepada berbagai kelas fungsi yang Digunakan dalam aplikasi yang Memerlukan interpolasi data dan / atau smoothing. Data dapat berupa satu dimensi atau multi-dimensi. Data dapat berupa satu dimensi atau multi-dimensi. Fungsi untuk interpolasi spline biasanya ditetapkan sebagai langkah yang tepat minimizers dari kekasaran (misalnya integral kuadrat kelengkungan) tunduk pada interpolasi kendala.Fungsi untuk interpolasi spline biasanya ditetapkan Sebagai langkah yang tepat minimizers dari kekasaran (Misalnya terpisahkan Kuadrat kelengkungan) tunduk pada interpolasi kendala. Splines smoothing dapat dipandang sebagai generalisasi dari interpolasi splines di mana fungsi ditentukan untuk memperkecil kombinasi yang berbobot rata-rata kuadrat kesalahan pendekatan di atas diamati data dan mengukur kekasaran. Merapikan Splines Sebagai Generalisasi dapat dipandang dari interpolasi splines di mana fungsi ditentukan untuk memperkecil Kombinasi yang berbobot rata-rata Pendekatan Kuadrat kesalahan data yang diamati di atas Mengukur dan kekasaran. Untuk sejumlah bermakna definisi dari kekasaran ukuran, fungsi spline ditemukan di alam dimensi terbatas, yang merupakan alasan utama mereka dalam perhitungan utilitas dan perwakilan. Untuk sejumlah definisi dari kekasaran bermakna ukuran, fungsi spline ditemukan di alam dimensi terbatas, yang Merupakan alasan utama dalam perhitungan mereka Utilitas dan Perwakilan. Untuk sisa dari seksi ini, kita fokus sepenuhnya pada satu dimensi, polinom splines dan menggunakan istilah "spline" dalam pengertian terbatas ini. Untuk sisa dari seksi ini, kita fokus sepenuhnya pada satu dimensi, dan polinom splines Menggunakan istilah "spline" dalam pengertian terbatas ini. Kita mulai dengan diskusi kita membatasi kasus univariat ke polinomial. Dalam kasus ini, sebuah spline adalah fungsi polinom piecewise.Dalam kasus ini, sebuah spline piecewise adalah fungsi polinom. Fungsi ini, sebut saja S, mengambil nilai-nilai dari interval [a, b] dan peta mereka untuk Fungsi ini, Sebut saja S, banteng nilai dari interval [a, b] dan peta untuk mereka, himpunan bilangan real. Kami ingin menjadi piecewise S untuk didefinisikan. Kami ingin menjadi piecewise S untuk didefinisikan. Untuk mencapai hal ini, biarkan interval [a, b] dilindungi oleh k memerintahkan, menguraikan subintervals, Untuk Mencapai hal ini, biarkan interval [a, b] dilindungi oleh k memerintahkan, menguraikan subintervals. Pada masing-masing k "potongan" dari [a, b], kita ingin mendefinisikan sebuah polinomial, sebut saja P i. Pada masing-masing k "potongan" dari [a, b], kita ingin mendefinisikan sebuah polinomial, Sebut saja P i. Pada th i subinterval dari [a, b], S didefinisikan oleh P i, Pada th i subinterval dari [a, b], S didefinisikan oleh P i,. Diberikan k +1 poin t i disebut knot. Diberikan k +1 poin t i Disebut simpul. Vektor vektor disebut vektor untuk simpul spline. Disebut simpul vektor untuk spline. Jika knot adalah equidistantly didistribusikan dalam interval [a, b] kita katakan spline seragam, kalau tidak kita katakan itu adalah non-seragam. Jika potongan polinomial P i masing-masing memiliki derajat paling banyak n, maka spline dikatakan derajat Jika potongan polinomial P i masing-masing memiliki derajat paling banyak n, maka dikatakan spline dari derajat (atau order n +1). (atau order n +1). Suatu fungsi f dikatakan kelas C ∞, atau halus, jika memiliki turunan dari semua perintah. Suatu fungsi f dikatakan kelas C ∞, atau halus, Jika memiliki turunan dari semua perintah. Jika f adalah halus dan jika sama dengan ekspansi deret Taylor di sekitar titik manapun dalam domainnya maka f dikatakan menjadi kelas C ω, atau analitis. Jika f adalah halus dan Jika sama dengan buah berderet-deret Taylor Ekspansi di sekitar titik manapun dalam f maka dikatakan domainnya menjadi kelas C ω, atau analitis. Fungsi Piecewise biasanya tidak analitik di mana potongan-potongan bertemu. Fungsi Piecewise biasanya tidak analitik di mana potongan-potongan Bertemu. Jika Jika di lingkungan yang ti, maka spline dikatakan dari kehalusan (setidaknya) Dalam Suatu lingkungan yang ti, maka dikatakan spline dari kehalusan (setidaknya) di ti. pada t i. Yaitu, pada dua lembar ti P i-1 dan P i Common berbagi nilai-nilai turunan dari turunan ketertiban 0 (nilai fungsi) melalui perintah turunan dari ri (dengan kata lain, kedua potongan polinomial berdekatan berhubungan dengan hilangnya dari kelancaran paling banyak n - ri). Yaitu, pada ti dua keping P i-1 dan P i common berbagi nilai-nilai turunan dari turunan ketertiban 0 (nilai fungsi) melalui perintah turunan dari ri (dengan kata lain, kedua potongan polinomial Menghubungkan berdekatan dengan kelancaran Hilangnya paling banyak n - r . Sebuah Sebuah vektor vektor sedemikian rupa sehingga spline telah sedemikian rupa Sehingga kelancaran telah spline untuk kelancaran di pada ti ti untuk disebut vektor untuk kelancaran spline. Disebut vektor untuk kelancaran spline. Diberi simpul simpul Diberi vektor vektor, gelar n, dan vektor yang halus, Gelar n, dan vektor untuk untuk kelancaran, seseorang dapat mempertimbangkan himpunan semua splines derajat, Seseorang dapat mempertimbangkan himpunan splines semua memiliki derajat dari simpul simpul yg vektor vektor dan vektor dan kelancaran kelancaran vektor. . Dilengkapi dengan menambahkan pengoperasian dua fungsi (pointwise tambahan) dan mengambil kelipatan nyata fungsi, himpunan ini menjadi ruang vektor riil. Dilengkapi dengan dua fungsi pengoperasian Menambahkan (pointwise tambahan) dan banteng kelipatan fungsi nyata, himpunan ini menjadi ruang vektor riil. Ruang spline ini biasanya dilambangkan dengan Ruang spline ini biasanya dilambangkan dengan. Dalam studi matematika polinom splines pertanyaan tentang apa yang terjadi ketika dua knot, mengatakan ti dan ti +1, yang bergerak bersama-sama memiliki jawaban yang mudah. Piece polinom P i (t) menghilang, dan potongan-potongan P i -1 (t) dan P i +1 (t) bergabung dengan jumlah kerugian kontinuitas dan ti ti 1. Polinom piece P i (t) menghilang, dan potongan-potongan P i -1 (t) dan P i +1 (t) bergabung dengan kontinuitas jumlah dan Kerugian untuk ti dan ti + 1 Ini mengarah pada pemahaman yang lebih umum dari suatu simpul vektor. Pemahaman ini mengarah pada yang lebih umum dari simpul Suatu vektor. Kontinuitas kerugian pada setiap titik dapat dianggap sebagai hasil dari beberapa knot terletak pada titik itu, dan jenis spline dapat sepenuhnya ditandai oelancaran kelancaran vektor. . Dilengkapi dengan menambahkan pengoperasian dua fungsi (pointwise tambahan) dan mengambil kelipatan nyata fungsi, himpunan ini menjadi ruang vektor riil. Dilengkapi dengan dua fungsi pengoperasian Menambahkan (pointwise tambahan) dan banteng kelipatan fungsi nyata, himpunan ini menjadi ruang vektor riil. Ruang spline ini biasanya dilambangkan dengan Ruang spline ini biasanya dilambangkan dengan. Dalam studi matematika polinom splines pertanyaan tentang apa yang terjadi ketika dua knot, mengatakan ti dan ti +1, yang bergerak bersama-sama memiliki jawaban yang mudah. Piece polinom P i (t) menghilang, dan potongan-potongan P i -1 (t) dan P i +1 (t) bergabung dengan jumlah kerugian kontinuitas dan ti ti 1. Polinom piece P i (t) menghilang, dan potongan-potongan P i -1 (t) dan P i +1 (t) bergabung dengan kontinuitas jumlah dan Kerugian untuk ti dan ti + 1 Ini mengarah pada pemahaman yang lebih umum dari suatu simpul vektor. Pemahaman ini mengarah pada yang lebih umum dari simpul Suatu vektor. Kontinuitas kerugian pada setiap titik dapat dianggap sebagai hasil dari beberapa knot terletak pada titik itu, dan jenis spline dapat sepenuhnya ditandai oleh derajat n dan vektor Kontinuitas diperpanjang Kerugian simpul pada setiap titik dapat Dianggap Sebagai hasil dari Beberapa simpul Terletak pada titik itu, dan jenis spline sepenuhnya dapat ditandai oleh derajat n dan vektor simpul diperpanjang adalah kurva spline jika X dan Y adalah fungsi spline derajat yang sama dengan panjang yang sama vektor simpul pada interval.

Contoh Kurva Spline (Gambar 2.1)

2. Kurva Polinomial

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

a_{n}x^{n}+

 .... + a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.

Grafik polinomial

Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam grafik fungsi.

• Grafik dari polinomial nol

f(x) = 0 adalah sumbu x.

• Grafik dari polinomial berderajat nol

f(x) = a_{0} , dimana a_{0} ≠ 0, adalah garis horizontal dengan y memotong a_{0}

• Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)

f(x) = a_{0} + a_{1} x , dengan a_{1} ≠ 0, adalah berupa garis miring dengan y memotong di a0 dengan kemiringan sebesar a1.

• Grafik dari polinomial berderajat dua

f(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} , dengan a_{2} ≠ 0 adalah berupa parabola.

• Grafik dari polinomial berderajat tiga

f(x) = a_{0} + a_{1} x+ a_{2} x^{2} , + a_{3} x^{3} , dengan a_{3} ≠ 0 adalah berupa kurva pangkat 3.

• Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih

f(x) = a_{0} +a_{1} x +_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} , dengan a_{n} ≠ 0 and n ≥ 2 adalah berupa kurva non-linear.

Ilustrasi dari grafik-grafik tersebut adalah di bawah ini.

Conics

Bagian conic adalah kurva yang dihasilkan dari persimpangan dari pesawat dengan sebuah kerucut. Kurva ini dipelajari dan dihormati oleh orang Yunani kuno, dan ditulis tentang secara ekstensif oleh Euclid dan Appolonius. Mereka tetap penting saat ini, sebagian untuk aplikasi mereka banyak dan beragam.

Meskipun bagi kebanyakan orang kata "kerucut" memunculkan gambar tokoh padat dengan dasar bulat dan atasan runcing, untuk matematika kerucut adalah permukaan, salah satu yang diperoleh dengan cara yang sangat tepat. Bayangkan sebuah garis vertikal, dan baris kedua berpotongan di beberapa sudut f (phi). Kami akan memanggil garis vertikal sumbu, dan garis kedua generator. F sudut antara mereka disebut sudut vertex. Sekarang bayangkan menangkap sumbu antara ibu jari dan jari telunjuk pada kedua sisi titik persimpangan dengan generator, dan memutar-mutar itu. Generator akan menyapu permukaan, seperti yang ditunjukkan pada diagram. Ini adalah permukaan ini yang kita sebut sebuah kerucut.

Perhatikan bahwa kerucut memiliki setengah bagian atas dan bagian bawah (disebut nappes), dan bahwa yang bergabung pada satu titik, yang disebut simpul. Perhatikan juga bahwa nappes memperpanjang tanpa batas jauh baik ke atas dan ke bawah. Sebuah kerucut dengan demikian sepenuhnya ditentukan oleh sudut vertex nya.

Sekarang, dalam memotong sebuah bidang datar dengan kerucut, kami memiliki tiga pilihan, tergantung pada sudut pesawat membuat dengan sumbu vertikal kerucut. Pertama, kita dapat memilih pesawat kami untuk memiliki sudut yang lebih besar terhadap vertikal daripada generator dari kerucut, dalam hal ini pesawat harus memotong kanan melalui salah satu nappes. Hal ini menghasilkan kurva tertutup yang disebut elips. Kedua, pesawat kami mungkin memiliki sudut yang sama persis dengan sumbu vertikal sebagai generator dari kerucut, sehingga sejajar dengan sisi kerucut. Kurva terbuka dihasilkan disebut parabola. Akhirnya, pesawat mungkin memiliki sudut kecil dengan sumbu vertikal (yaitu, pesawat lebih curam daripada generator), dalam hal ini pesawat akan memotong kedua nappes kerucut. Kurva yang dihasilkan disebut hiperbola, dan memiliki dua menguraikan "cabang."

Perhatikan bahwa jika pesawat sebenarnya tegak lurus dengan sumbu (yaitu, itu adalah horisontal) maka kita mendapatkan lingkaran - menunjukkan bahwa lingkaran adalah benar-benar jenis khusus dari elips. Juga, jika pesawat berpotongan melewati vertex maka kita mendapatkan apa yang disebut merosot conics; satu titik dalam kasus elips, baris dalam kasus parabola, dan dua garis berpotongan dalam kasus hiperbola.

Meskipun secara intuitif dan menarik secara visual, definisi-definisi untuk bagian berbentuk kerucut menceritakan sedikit tentang sifat mereka dan menggunakan. Akibatnya, orang harus menguasai "pesawat geometri" definisi mereka juga. Hal ini dari definisi yang representasi aljabar mereka mungkin diturunkan, serta banyak sifat mereka penting, seperti sifat refleksi. (Itu definisi yang mengikuti yang setara dengan yang diberikan di atas tidak jelas - tidak sama sekali Untuk bukti elegan, lihat artikel tentang Spheres Dandelin itu.!) Sekarang kita akan melihat setiap bagian berbentuk kerucut secara rinci.

ELLIPSE

Himpunan semua titik dalam pesawat, jumlah jarak dari dua titik yang tetap, disebut fokus, adalah sebuah konstanta. ("Foci" adalah jamak dari "fokus", dan diucapkan FOH-mendesah.) Terkadang definisi ini diberikan dalam hal "lokus dari titik" atau bahkan "lokus dari titik" memuaskan kondisi ini - itu semua berarti hal yang sama.

Untuk alasan yang akan menjadi jelas, kami akan menunjukkan jumlah dari jarak oleh 2a. Kita melihat dari definisi yang elips memiliki dua sumbu simetri, lebih besar dari yang kita sebut sumbu utama dan lebih kecil sumbu minor. Dua titik di ujung elips (pada sumbu besar) disebut simpul. Hal ini terjadi bahwa panjang sumbu utama adalah 2a, jumlah jarak dari setiap titik pada elips untuk fokus nya. Jika kita sebut panjang sumbu minor 2b dan jarak antara 2c fokus, maka Teorema Pythagoras menghasilkan b2 + c2 = hubungan a2:

Dengan memberlakukan sumbu koordinat dengan cara ini nyaman, kita melihat bahwa simpul berada di penyadapan x, dengan dan-a, dan bahwa y penyadapan berada pada b dan-b. Biarkan titik P variabel pada elips diberi koordinat (x, y). Kami kemudian dapat menerapkan rumus jarak untuk jarak dari P ke F1 dan dari P ke F2 untuk mengekspresikan definisi geometris kita tentang elips dalam bahasa aljabar:

Mengganti a2 - b2 c2 untuk dan menggunakan sedikit ilmu aljabar, kita kemudian dapat memperoleh persamaan standar untuk elips berpusat pada titik asal,

dimana a dan b adalah panjang dari semimajor dan kapak semiminor, masing-masing. (Jika sumbu utama elips adalah vertikal, pertukaran a dan b dalam persamaan.) Titik-titik (a, 0) dan (-a, 0) disebut simpul dari elips. Jika elips diterjemahkan atas / bawah atau kiri / kanan, sehingga pusat adalah di (h, k), maka persamaan mengambil formulir

Jika b =, kita memiliki kasus khusus dari elips yang fokus bertepatan di pusat - yaitu, sebuah lingkaran berjari-jari a. Elips memiliki sifat refleksi berikut luar biasa. Misalkan P suatu titik pada elips, dan membangun segmen garis yang menghubungkan P ke fokus. Kemudian garis-garis membentuk sudut sama dengan garis singgung di P.

Akibatnya, setiap sinar yang berasal dari salah satu fokus akan selalu mencerminkan off dari bagian dalam elips sedemikian rupa untuk pergi langsung ke fokus lain. Arsitek telah mengeksploitasi properti ini di gedung-gedung terkenal. The "ruang bisikan" di Amerika Serikat Capitol adalah satu; berdiri di salah satu fokus dan berbisik, dan siapa saja pada fokus lain dapat mendengar Anda dengan sangat jelas, meskipun mereka jauh terlalu jauh dari Anda untuk mendengar bisikan normal. Tabernakel Mormon di Salt Lake City juga dirancang sebagai elips (memang, itu adalah bagian atas ellipsoid), untuk menyediakan lingkungan akustik yang sempurna untuk musik paduan suara dan organ.

Elips terjadi di alam juga, dan sangat penting untuk memahami gerakan planet dan benda lain bergerak di ruang angkasa. Lihat artikel pada Hukum Kepler.

PARABOLA

Himpunan semua titik pada bidang yang jarak dari titik tetap, yang disebut fokus, dan telepon tetap, yang disebut direktriks, selalu sama.

Titik langsung antara - dan karenanya paling dekat dengan - fokus dan direktriks disebut titik dari parabola. Untuk menurunkan persamaan parabola dalam koordinat persegi panjang, kita lagi memilih lokasi yang nyaman untuk sumbu, menempatkan asal pada titik sehingga sumbu y adalah sumbu simetri. Kami menunjukkan jarak dari simpul yang fokus oleh p, sehingga direktriks ini maka garis y =-p.

Dengan menggunakan rumus jarak untuk jarak dari P ke F, dan mencatat bahwa jarak dari P ke direktriks adalah jelas y + p, dan pengaturan ini jarak yang sama, kita memperoleh

Sebuah aplikasi langsung dari aljabar biasa ini untuk mengurangi

Ini kemudian adalah persamaan dari ke atas pembukaan parabola, dengan verteks pada titik asal. Jika kita memperkenalkan tanda negatif, kita mendapatkan ke bawah pembukaan parabola. Jika kita pertukaran peran dari x dan y, kita mendapatkan pembukaan parabola ke kanan (atau ke kiri jika ada negatif). Kami dapat menerjemahkan parabola atas / bawah atau belakang / sebagainya, menempatkan titik pada titik (h, k) jika kita menulis persamaan kita sebagai

Sifat refleksi dari parabola sangat penting karena memiliki manfaat praktis begitu banyak. Misalkan P suatu titik pada parabola. Membangun segmen garis yang menghubungkan P untuk fokus, dan sinar melalui P yang sejajar dengan sumbu simetri. Segmen garis dan sinar akan selalu membuat sudut yang sama dengan garis singgung di P. Akibatnya, setiap sinar yang berasal dari fokus akan dipantulkan dari parabola sehingga untuk menunjuk langsung ke arah luar, sejajar dengan sumbu. Properti ini dimanfaatkan dalam desain senter, lampu, dan lampu sorot, misalnya. Sebaliknya, setiap sinar memasuki parabola yang sejajar dengan sumbu akan tercermin untuk fokus. Properti ini dimanfaatkan dalam desain radio dan hidangan menerima satelit, dan kolektor surya.

Sifat refleksi dari parabola ini terkait dengan sifat penasaran bahwa garis singgung di titik akhir dari setiap akord melalui fokus (seperti yang ditunjukkan di atas) berpotongan di direktriks, dan selalu melakukannya dengan sudut yang tepat.

Parabola juga penting dalam studi balistik, gerakan tubuh di bawah gaya gravitasi.

Hiperbola

Himpunan semua titik pada bidang, perbedaan jarak yang dari dua titik tetap, disebut fokus, tetap konstan.

Meniru prosedur kami dengan elips, kita akan memilih 2a konstan merupakan selisih dari jarak ini, yaitu, PF1 - PF2 = 2a. Kami akan memanggil dua poin dari hiperbola yang terletak pada garis yang menghubungkan simpul fokus, dan kita kemudian melihat bahwa jarak antara simpul harus 2a. Juga, kita akan memanggil jarak antara 2c fokus. Akhirnya, kita akan menentukan b konstan oleh b2 = c2 - a2. (Kami mungkin melakukan ini karena ternyata c a>.) Menempatkan sumbu koordinat di pusat seperti sebelumnya, kita memperoleh gambar ini:

Menerapkan rumus jarak dan menggantikan c seperti yang kita lakukan dalam kasus-kasus sebelumnya, kita dapat memperoleh rumus standar dari hiperbola:

Kami mencatat bahwa memecahkan persamaan ini untuk hasil y

dan membiarkan x menjadi sewenang-wenang besar menyebabkan ekspresi ini menjadi sewenang-wenang dekat dengan

Jadi kita melihat bahwa garis-garis malang-melintang dalam diagram di atas adalah asimtot hiperbola untuk, yaitu, kurva menjadi tanpa batas dekat dengan garis-garis ini sebagai nilai mutlak dari x tumbuh tanpa terikat. Seperti sebelumnya, jika sumbu utama hiperbola adalah vertikal, bukan horisontal, kita beralih peran dari a dan b. Kami juga dapat menerjemahkan hiperbola atas / bawah dan belakang / maju, menempatkan pusat di (h, k) dengan memodifikasi persamaan kami sebagai berikut: untuk

Sifat refleksi dari hiperbola yang sangat penting dalam optik. Misalkan P suatu titik pada satu cabang dari hiperbola tersebut. Kemudian segmen garis yang menghubungkan P untuk masing-masing bentuk fokus sudut yang membelah dengan garis singgung di P.

Akibatnya, setiap sinar mendekati salah satu fokus dari sisi cembung hiperbola tercermin ke fokus yang berlawanan. Contoh dari penerapan prinsip ini adalah teleskop Cassegrain mencerminkan:

Sebuah cermin parabola cekung membentuk bagian belakang teleskop, dan ini berbagi fokus dengan cermin hiperbolik cembung, fokus lain yang pada lensa mata.

Keanehan

Ide menyatukan antara kurva-kurva ini adalah bahwa mereka semua conics, yaitu, bagian berbentuk kerucut. Kita telah melihat realisasi geometris gagasan pemersatu, tetapi bagaimana hal itu dapat dinyatakan secara aljabar? Gagasan utama adalah bahwa dari eksentrisitas.

Untuk menentukan eksentrisitas kerucut, kita harus terlebih dahulu mengamati fitur dari elips dan hiperbola yang kita diabaikan sebelumnya, yaitu bahwa masing-masing kurva memiliki direktriks, sama seperti parabola tidak. Memang, ellilpse dan hiperbola masing-masing memiliki dua Direktriks-direktriksnya. Sekarang mari P menjadi titik pada kurva berbentuk kerucut, dan mempertimbangkan jarak ke fokus, dan jarak ke direktriks sesuai. Eksentrisitas Kurva adalah rasio jarak ini.

Kami akan menunjukkan eksentrisitas dengan huruf e. Dapat ditunjukkan bahwa e geometris selalu sama dengan rasio c dan sebagai konstanta ini didefinisikan dalam setiap kasus. Artinya, kita selalu memiliki e = c / a. Hal ini juga dapat menunjukkan bahwa Direktriks-direktriksnya dari elips atau hiperbola dengan sumbu horisontal prinsip selalu garis vertikal yang diberikan oleh

seperti terlihat pada diagram di atas.

Sekarang ingat bahwa pada parabola jarak dari titik fokus, dan dari titik yang sama untuk direktriks, adalah selalu sama. Akibatnya, parabola selalu memiliki eksentrisitas e = 1. Elips, di sisi lain, selalu memiliki e <1, dan untuk hiperbola e> 1. (Lingkaran A adalah kasus khusus dari elips dengan e = 0.) Singkatnya, kita harus

Nama-nama kurva ini terkait dengan eksentrisitas mereka. "Ellipse" berasal dari kata Yunani yang berarti "kekurangan" atau "sesuatu yang ditinggalkan," dan berhubungan dengan "elipsis" kata-kata bahasa Inggris dan Kata "hiperbola," di sisi lain "elips.", Berasal dari kata Yunani untuk "kelebihan" dan berhubungan dengan kata Inggris Akhirnya "hiperbola.", "parabola" berarti sesuatu seperti "tepat," dan berhubungan dengan kata-kata "membandingkan" dan "perumpamaan."

Apa diskusi ini menunjukkan adalah bahwa kita dapat mempertimbangkan bahwa hanya ada satu jenis umum kurva, yang disebut kerucut, dengan kasus khusus yang disebut elips, parabola, dan hiperbola tergantung pada eksentrisitas yang berbentuk kerucut itu. Aljabar, kita sekarang dapat mempertimbangkan conics di umum lengkap. Untuk melakukannya, mempertimbangkan polinomial derajat kedua dalam dua variabel, x dan y.

The 'xy' istilah dapat dihilangkan oleh rotasi dari sumbu. Teknik-teknik aljabar untuk melakukannya dapat ditemukan dalam teks pada kalkulus dengan geometri analitik. Pada saat itu menyelesaikan persegi terhadap kedua x dan y, kita akan mendapatkan salah satu persamaan standar yang diberikan di atas, baik untuk elips atau hiperbola. Jika hanya satu dari x dan y muncul sebagai persegi dalam persamaan berbentuk kerucut yang asli, maka persamaan standar dari parabola dapat diperoleh.

Studi tentang bagian berbentuk kerucut adalah salah satu topik yang paling indah dalam matematika klasik. Setiap mahasiswa matematika harus meluangkan waktu untuk menguasai bagian berbentuk kerucut secara menyeluruh, tidak hanya untuk daya tarik estetis subjek, dan bukan hanya karena aplikasi mereka sangat bervariasi dan penting, tetapi juga karena mereka menunjukkan - dengan cara mendalam dan jelas - dasar penyatuan geometri dan aljabar di bidang geometri analitik.

Fungsi kurva yang bervariasi sangat berguna dalam :

1. Pemodelan objek

2. Spesifikasi jalur animasi

3. Fungsi dan data grafis

4. Aplikasi grafis lainnya

Curve Modeling T1 (Kata Pengantar , Bab I , Bab II) Part 2

Bagian-bagian dari grafik 2 Dimensi :

Pixel Art

Pixel art adalah sebuah bentuk seni digital yang diciptakan melalui penggunaan perangkat lunak grafik raster di mana gambar akan diedit pada tingkat pixel. Pixel art dapat ditemukan pada komputer atau game-game lama, dan juga dapat ditemukan pada handphoneyang masih menggunakan layar monochrome.

Pixel Art mempunyai beberapa teknik yaitu:

• Garis Lurus

Di dalam pixel art, kita tidak bisa menggambar sembarang garis, karena jika kita tidak melakukannya dengan benar, garis tersebut akan terlihat ‘jaggy’ atau tidak halus.

• Garis Melengkung

Untuk pelengkungan, pixel yang digambar pada setiap lengkungan harus konsisten dan berurutan, agar hasilnya terlihat halus. Garis lengkung yang baik harus menggunakan formasi pixel 6 > 3 > 2 > 1, sedangkan garis lengkung yang buruk hanya menggunakan formasi 3 > 1 > 3.

• Dithering

Dalam pixel art, proses membuat sebuah gradiasi, yaitu dengan menggunakan teknik dithering. Dithering adalah salah satu teknik dari program komputer untuk memprediksi suatu warna tertentu berdasarkan dari pencampuran warna-warna lainnya, ketika warna yang dimaksud tidak ada.

• Anti-aliasing

Teknik anti-aliasing digunakan untuk memberikan tampilan yang lebih halus pada garis lengkung. Jika kita membuat sebuah garis melengkung di photoshop, lalu diperpesar tampilannya, maka akan terlihat formasi pixel seperti berikut ini:

Untuk menerapkan teknik anti alias ini, dapat dilakukan dengan membuat warna utama yang diiringii dengan warna yang value-nya lebih kecil dari warna utama, atau yang value-nya mendekati warna background jika kita ingin agar garis terintegrasi dengan background.

• Vector graphics

Berbeda dengan pixel, grafik vektor merupakan representasi dari gambar dengan berupa array pixel. Dimana keunggulannya adalah pada resolusi berapapun dan tingkat pembesaran apapun gambar yang dihasilkan tetap (tidak blur atau pecah)

Grafik Komputer 3D

Grafik komputer 3D merupakan suatu grafis yang menggunakan 3 titik perspektif dengan cara matematis dalam melihat suatu objek, dimana gambar tersebut dapat dilihat secara menyeluruh dan nyata. Untuk perangkat-perangkat lunak yang digunakan untuk grafik komputer 3D ini banyak bergantung pada aloritma-algoritma. Obyek 3-D adalah sekumpulan titik-titik 3-D (x,y,z) yang membentuk luasan-luasan (face) yang digabungkan menjadi satu kesatuan. Face adalah gabungan titik-titik yang membentuk luasan tertentu atau sering dinamakan dengan sisi.

Grafik tiga dimensi adalah bidang penelitian yang akan terus berkembang seiring dengan berkembangnya perangkat keras. Para peneliti maupun praktisi industri menggunakan grafik tiga dimensi untuk menvisualisasikan data yang ada sehingga lebih mudah untuk dianalisa. Selain untuk visualisasi data, grafik tiga dimensi juga banyak digunakan untuk efek film, simulasi, dan game.

Ray tracing merupakan metode penggambaran tiga dimensi yang banyak digunakan untuk menvisualisasikan suatu bentuk atau objek sehingga mendekati kualitas foto (foto realistik). Ray racing merupakan metode penggambaran yang mudah dipahami secara konseptual tetapi pada implementasinya terdapat kelemahan. Salah satu kelemahan pada ray tracing adalah daya komputasi yang dibutuhkan untuk perhitungan sangat besar sehingga diperlukan metode tambahan untuk mempercepat proses perhitungan.

Beberapa kemajuan utama dalam computer grafik 3D:

1. Flat shading : suatu teknik shades masing-masing polygon dari suatu objek berdasarkan pada polygon “normal” dan posisi serta intensitas sumber cahaya.

2. Gouraud shading : ditemukan oleh Henri Gouraud pada tahun 1971 dengan teknik resource-conscious yang digunakan untuk menirukan shade dengan permukaan lembut dan penyisipan warna puncak antarpermukaan polygon.

3. Texture mapping : suatu teknik untuk menirukan detail permukaan dengan pemetaan gambar (tekstur) menjadi polygons.

4. Phong shading : ditemukan oleh Bui Tuong Phong; suatu teknik shading yang lembut penyisipan yang puncak mendekati normal pencahayaan dari polygon curved-surface dengan antarpermukaan; model pencahayaan meliputi glossy reflection dengan suatu tingkatan permukaan yang halus.

5. Bump mapping : ditemukan oleh Jim Blinn, suatu teknik normal-perturbation yang digunakan untuk menirukan permukaan yang tidak rata atau mengerut.

6. Ray Tracing : suatu metode berdasarkan pada prinsip fisik dari ilmu optic geometris yang bisa menirukan pantulan berulang dan transparan.

7. Radiosity : suatu teknik untuk global illumination yang menggunakan teori perpindahan radiatif untuk menirukan iluminasi secara tidak langsung (yang dicerminkan).

System perancangan terbantu computer (Computer Aided Design = CAD) memungkinkan pemakai untuk memanipulasi model komponen-komponen mesinm badan mesin, pesawat terbang, dan lain-lain, yang secara keseluruhan harus dinyatakan seperti apa yang akan terbentuk. Terapan-terapan grafik 3D berbeda dengan terapan-terapan grafik 2D, tidak hanya karena penambahan dimensi dari dua menjadi tiga, tetapi yang lebih utama adalah cara menampilkan suatu realita (realism) dari objek yang sebenarnya ke layar tampilan.

Dalam program simulasi, misalnya, semakin tinggi derajat realita yang bisa disajikan, program simulasi tersebut menjadi lebih menarik. Penampilan citra yang realities dari objek 3D pada layar tampilan 2D menimbulkan beberapa persoalan yang harus ditangani. Beberapa persoalan yang segera terlihat, antara lain adalah bagaimana kedalaman dan cara memberikan warna pada objek agar kelihatan lebih menarik.

Tools Pendukung Pemodelan Grafik Komputer :

1. Aplikasi Pengolah Tata Letak (Layout) Program ini sering digunakan untuk keperluan pembuatan pamflet, brosur, booklet, poster, undangan dan lain yang sejenis. Program ini mampu mengatur penempatan teks dan gambar yang diambil dari program lain (seperti Adobe Photoshop). Yang termasuk dalam kelompok ini adalah: Adobe FrameMaker, Adobe In Design, Adobe PageMaker, Corel Ventura, Microsoft Publisher, Quark Xpress.

2. Aplikasi Pengolah Vektor/Garis Program yang termasuk dalam kelompok ini dapat digunakan untuk membuat gambar dalam bentuk vektor/garis sehingga sering disebut sebagai Illustrator Program. Seluruh objek yang dihasilkan berupa kombinasi beberapa garis, baik berupa garis lurus maupun lengkung. Aplikasi yang termasuk dalam kelompok ini adalah: Adobe Illustrator, Beneba Canvas, CorelDraw, Macromedia Freehand, Metacreations Expression, Micrografx Designer, Inkscape.

3. Aplikasi Pengolah Pixel/Gambar Program yang termasuk dalam kelompok ini dapat dimanfaatkan untuk mengolah gambar/manipulasi foto (photo retouching). Objek yang diolah dalam progam-program tersebut dianggap sebagai kombinasi beberapa titik/pixel yang memiliki kerapatan dan warna tertentu, misalnya, foto. Gambar dalam foto terbentuk dari beberapa kumpulan pixel yang memiliki kerapatan dan warna tertentu. Meskipun begitu, program yang termasuk dalam kelompok ini dapat juga mengolah teks dan garis, akan tetapi dianggap sebagai kumpulan pixel. Objek yang diimpor dari program pengolah vektor/garis, setelah diolah dengan program pengolah pixel/titik secara otomatis akan dikonversikan menjadi bentuk pixel/titik. Yang termasuk dalam aplikasi ini adalah: Adobe Photoshop, Corel Photo Paint, Macromedia Xres, Metacreations Painter, Metacreations Live Picture, Micrografx Picture Publisher, Microsoft Photo Editor, QFX, Wright Image, Pixelmator, Manga studio, Gimp dan Pos Free Photo Editor.

4. Aplikasi Pengolah Film/Video Program yang termasuk dalam kelompok ini dapat dimanfaatkan untuk mengolah film dalam berbagai macam format. Pemberian judul teks (seperti karaoke, teks terjemahan, dll) juga dapat diolah menggunakan program ini. Umumnya, pemberian efek khusus (special effect) seperti suara ledakan, desingan peluru, ombak, dan lain-lain juga dapat dibuat menggunakan aplikasi ini. Yang termasuk dalam kategori ini adalah: Adobe After Effect, Power Director, Show Biz DVD, Ulead Video Studio, Element Premier, Easy Media Creator, Pinnacle Studio Plus, WinDVD Creater, Nero Ultra Edition dan Camtasia Studio

5. Aplikasi Pengolah Multimedia Program yang termasuk dalam kelompok ini biasanya digunakan untuk membuat sebuah karya dalam bentuk Multimedia berisi promosi, profil perusahaan, maupun yang sejenisnya dan dikemas dalam bentuk CD maupun DVD. Multimedia tersebut dapat berisi film/movie, animasi, teks, gambar, dan suara yang dirancan sedemikian rupa sehingga pesan yang disampaikan lebih interktif dan menarik. Yang termasuk dalam kelompok ini adalah: Macromedia, Macromedia Authorware, Macromedia Director, Macromedia Flash, Multimedia Builder, Ezedia, Hyper Studio dan Ovation Studio Pro

6. Pengolah 3 dimensi Contohnya : Xara 3D, 3Ds Max, Houdini, Lightware, Blender, Pixar, Maya, Poser, AutoCad dan Zmodeler

7. Software tipografi Fontographer dan AMP Font Viewer

Penggunaan Grafika Komputer dalam Grafik Tiga Dimensi

1. Teknik Penampilan Realita Grafik Tiga Dimensi

Secara umum, teknik penampilan grafik tiga dimensi adalah sebagai berikut:

• Proyeksi Paralel (Paralel Projection)

Teknik ini merupakan teknik dasar dalam penyajian objek 3D pada layar 2D yang bertumpu pada 3 sudut pandang. Pandangan depan, pandangan samping dan pandangan atas.

• Proyeksi Perspektif

Proyeksi perspektif adalah bentuk gambar tiga dimensi seperti yang dilihat pada kenyataan sesungguhnya seperti yang terlihat oleh mata manusia ataupun oleh kamera. Dalam proyeksi perspektif, ketebalan atau kedalaman bisa ditunjukkan dengan cara memperkecil ukuran dari objek-objek yang terletak lebih jauh. Namun, objek yang hanya memiliki kedalaman terbatas, khususnya pada objek-objek rangka (wire-frame), bisa menimbulkan atau menyebabkan dualisme atau ketidakjelasan. Misalnya bagian yang terkesan didalam kadang-kadang juga terkesan di luar.

• Intensity Cues

Merupakan teknik penampilan kedalaman dengan memberikan intensitas yang lebih tinggi (dengan cara penebalan garis) pada garis-garis yang lebih dekat dengan pengamat.

• Pandangan Stereoskopis

Merupakan teknik untuk menunjukkan kedalaman objek dengan cara membangkitkan citra objek secara stereoskopis. Contohnya jika kita melihat dua objek yang sama persis, maka mata kiri ditujukan ke objek yang terletak di sebelah kiri dan mata kanan ditujukan ke objek yang terletak di sebelah kanan.

• Teknik Arsiran

Teknik arsiran memanfaatkan sumber cahaya sintesis untuk menunjukkan kedalaman dan bentuk yang sesungguhnya dari suatu objek sehingga akan menghasilkan bayangan dari objek tersebut.

2. Pemodelan Objek 3D

Didalam pemodelan objek 3D, terdapat geometri dan topologi. Geometri ini meliputi ukuran, misalnya lokasi, titik, atau ukuran objek. Topologi digunakan untuk menunjukkan bagaimana titik-titik disatukan untuk membentuk polygon, lalu bagaimana poligon-poligon disusun untuk membentuk objek yang dimaksud. Selain itu diperlukan juga informasi tambahan, misalnya warna dari setiap permukaan yang menyusun objek.

3. Sistem Koordinat Cartesius

Berfungsi untuk merekam lokasi setiap titik yang ada pada objek tersebut yang dicatat pada sistem koordinat cartesian 3D.

4. Sistem Koordinat Spheris

Pada sistem koordinat spheris, sebuah titik dianggap terletak pada kulit bola yang memiliki jari-jari tertentu dan titik pusat berhimpit dengan titik pusat sistem koordinat. Dari sembarang titik yang terletak pada kulit bola tersebut, misalnya titik U, dikenal besaran kolatitud dan azimuth. Kolalitud adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh sumbu z dengan garis yang ditarik dari titik yang dimaksud.

5. Model Rangka

Pemodelan grafik 3D secara rangka perlu memperhatikan dua aspek. Aspek geometri dan aspek topologi. Aspek geometri berisi informasi tentang lokasi setiap titik yang membentuk objek 3D tersebut. Informasi tentang lokasi titik biasanya dituliskan dalam bentuk daftar titik. Dari informasi tersebut, bisa ditentukan panjang garis dari satu titik ke titik yang lain bersama-sama dengan informasi topologi. Aspek topologi atau ketersambungan digunakan untuk menunjukkan daftar garis dari objek 3D. Dari daftar garis juga bisa ditentukan daftar bidang.

6. Proyeksi

Suatu objek rangka 3D yang disinari dari arah tertentu membentuk bayangan pada permukaan gambar.

7. Transformasi Objek 3D

• Menggubah struktur data titik ke struktur data vector.

• Menentukan dan menghitung transformasi.

• Mengubah kembali struktur data vector ke struktur data titik. Mengubah struktur data vector 3D menjadi titik 3D. Mengubah Struktur data vector 3D menjadi titik 2D, dengan mengabaikan sumbu z.

• Menggambar objek

Desain Pemodelan Grafik

Jika kita mendengar kata "desain pemodelan grafik" yang terlintas di benak kita adalah gambar. Agar lebih jelasnya kita akan memahami pengertian desain pemodelan grafik dengan mengenal per kata terlebih dahulu.

• Desain

Desain adalah seni terapan, arsitektur dan pencapaian kreatif lainnya. Desain juga diartikan sebagai kerangka bentuk atau rancangan.

• Pemodelan

Pemodelan adalah pola/contoh dari sesuatu yang akan dibuat atau dirancang. Pemodelan adalah tahap dimana akan dibentuknya suatu obyek. Proses pemodelan ini memerlukan perancangan dengan beberapa langkah saat pembuatannya.

• Grafik

Grafik didefinisikan sebagai pengungkaapn dan perwujudan dalam bentuk huruf,simbol dan gambar dengan menggunakan proses pencetakan. Grafik juga didefinisikan sebagai suatu manipulasi model dan citra.

Dari ketiga definisi di atas dapat disimpulkan desain pemodelan grafik adalah proses penciptaan suatu obyek baru dengan menggunakan software dan melalui beberapa tahapan yaitu membuat, menyimpan dan manipulasi model dan citra.

Elemen-elemen pembentuk grafik :

Prinsip dasar 3D

Melihat obyek secara tiga dimensi (3D) berarti melihat obyek dalam bentuk sesungguhnya. Penggambaran 3D akan lebih membantu memperjelas maksud dari rancangan obyek karena bentuk sesungguhnya dari obyek yang akan diciptakan divisualisasikan secara nyata. Penggambaran 3D merupakan pengembangan lebih lanjut dari penggambaran 2D.

Perbedaan antara 2D dan 3D

Dalam 2D obyek digambar dalam bidang xy

Dalam 3D, penggambaran dan penampilan obyek 3D bermain di didalam 3 ruas koordinat yaitu X, Y, dan Z.

Koordinat 3D

Kartesius, format umumnya adalah (x,y,z )

Polar

Format umum @jarak<30<45

Koordinat relatif

• Relatif adalah sebuah koordinat pengguna untuk menentukan titik penempatan berikutnya dari titik saat ini, dengan memasukan nilai panjang dan lebar serta tinggi.

• Format relatif untuk 2D adalah @panjang, lebar

• Format relatif untuk 3D adalah @panjang,lebar,tinggi

Sistem koordinat 3D

• WCS ( world coordinate system ), wcs adalah koordinat yg posisidan arahnya selalu tetap dan bersifat absolute. Disini arah sumbu x,y,z yang anda masukan selalu dihitung dari titik acuan yang sama, tidak tergantung dari arah pandang saa ini.

• UCS ( user coordinate system ), ucs adalah sistem koordinat yang dapat diubah-ubah ( dipindah dan dirotasikan ) sesuai dengan keinginan pengguna.

Tipe objek 3D

• Wireframe adalah objek yang hanya terdiri atas garis lurus dan garis lengkung yg mempresentasikan tepi-tepi objek, tanpa permukaan tertutup. Tipe ini merupakan objek 2D yang digambarkan dalam ruang 3D.

• Surface : adalah sebuah objek yang tersusun atas permukaan. Objek ini dpt diibaratkan spt dinding tipis pada sebuah kotak, objek surface tidak memiliki volume (kosong). Surface dapat dipakai untuk benda-benda yang fleksibel,seperti : body mobil, body pesawat, pohon, dll.

• Solid : objek solid memiliki mass properties, ini menunjukan bahwa objek solid merupakan benda yang padat dan memiliki titik berat.

Motion Capture/Model 2D

Motion capture adalah terminologi yang digunakan untuk mendeskripsikan proses dari perekaman gerakan dan pengartian gerakan tersebut menjadi model digital. Ini digunakan di militer, hiburan, olahraga, aplikasi medis, dan untuk calidasi cisi computer dan robot. Di dalam pembuatan film, mocap berarti merekam aksi dari actor manusia dan menggunakan informasi tersebut untuk menganimasi karakter digital ke model animasi computer dua dimensi atau tiga dimensi. Ketika itu termasuk wajah dan jari-jari atau penangkapan ekspresi yang halus, kegiatan ini biasa dikatakan sebagai performance capture.

Dalam sesi motion capture, gerakan-gerakan dari satu atau lebih aktor diambil sampelnya berkali-kali per detik, meskipun dengan teknik-teknik kebanyakan( perkembangan terbaru dari Weta menggunakan gambar untuk motion capture dua dimensi dan proyek menjadi tiga dimensi), motion capture hanya merekam gerakan-gerakan dari aktor, bukan merekam penampilan visualnya. Data animasi ini dipetakan menjadi model tiga dimensi agar model tersebut menunjukkan aksi yang sama seperti aktor. Ini bisa dibandingkan dengan teknik yang lebih tua yaitu rotoscope, seperti film animasi The Lord of the Rings, dimana penampilan visual dari gerakan seorang aktor difilmkan, lalu film itu digunakan sebagai gerakan frame-per-frame dari karakter animasi yang digambar tangan.

Gerakan kamera juga dapat di-motion capture sehingga kamera virtual dalam sebuah skema dapat berjalan, miring, atau dikerek mengelilingi panggung dikendalikan oleh operator kamera ketika aktor sedang melakukan pertunjukan, dan sistem motion capture bisa mendapatkan kamera dan properti sebaik pertunjukan dari aktor tersebut. Hal ini membuat karakter komputer, gambar, dan set memiliki perspektif yang sama dengan gambar video dari kamera. Sebuah komputer memproses data dan tampilan dari gerakan aktor, memberikan posisi kamera yang diinginkan dalam terminology objek dalam set. Secara surut mendapatkan data gerakan kamera dari tampilan yang diambil biasa diketahui sebagai match moving atau camera tracking.

Penanda reflektif ditancapkan pada kulit untuk mengidentifikasi letak tulang dan gerakan tiga dimensi dari tubuh. Motion Capture dimulasi sebagai alat analisis photogrammetric dalam penelitian biomechanics pada tahun 1970-an dan 1980-an, serta meluas ke ranah edukasi, latihan, olahraga, dan baru saja ke ranah animasi komputer untuk televisi, sinema, dan video games seiring dengan dewasanya teknologi ini. Seorang yang dipilih menggunakan penanda di dekat setiap sendi tulang untuk mengidentifikasi gerakan dari posisi atau sudut antar penanda tersebut.

Motion capture menawarkan beberapa keuntungan dibandingkan animasi komputer tradisional dari model tiga dimensi: *Lebih cepat, bahkan hasil secara real time bisa didapatkan. Dalam aplikasi hiburan, hal ini dapat mengurangi biaya dari animasi berbasis keyframe. Contohnya: Hand Over. *Jumlah kerja tidak berubah dengan kompleksitas atau panjang pertunjukan dalam tingkatan yang sama ketika menggunakan teknik tradisional. Hal ini membuat banyak tes diselesaikan dengan gaya dan penyampaian yang berbeda. *Gerakan kompleks dan interaksi fisik yang realistis seperti gerakan sekunder, berat, dan pertukaran tekanan dapat dengan mudah dibuat kembali dalam cara akurat secara fisik. *Jumlah data animasi yang bisa diproduksi dalam waktu yang diberikan sangatlah besar saat dibandingkan dengan teknik animasi tradisional. Hal ini berkontribusi dalam keefektifan biaya dan mencapai deadline produksi. *Potensi software gratis dan solusi dari pihak luar dapat mengurangi biaya yang dikeluarkan.

Dasar Metode Modeling 3D

Ada beberapa metode yang digunakan untuk pemodelan 3D. Ada jenis metode pemodelan obyek yang disesuaikan dengan kebutuhannya seperti dengan nurbs dan polygon ataupun subdivision. Modeling polygon merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan

Modeling polygon

Merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan. Untuk mendapatkan permukaan yang halus, dibutuhkan banyak bidang polygon. Bila hanya menggunakan sedikit polygon, maka object yang didapat akan terbag sejumlah pecahan polygon.

Modeling dengan NURBS

Modeling dengan NURBS (Non-Uniform Rational Bezier Spline) Merupakan metode paling populer untuk membangun sebuah model organik. Kurva pada Nurbs dapat dibentuk dengan hanya tiga titik saja. Dibandingkan dengan kurva polygon yang membutuhkan banyak titik (verteks) metode ini lebih memudahkan untuk dikontrol. Satu titik CV (Control verteks) dapat mengendalikan satu area untuk proses tekstur.

Proses Rendering

Rendering adalah proses menghasilkan gambar dari model. hasil dari model seperti itu bisa disebut rendering. Render scene berisi objek dalam struktur bahasa atau data didefinisikan secara lengkap , scene render akan berisi geometri , sudut pandang , tekstur , pencahayaan , dan informasi sebagai deskripsi scene virtual. Data yang terkandung dalam file scene ini kemudian diteruskan ke program render untuk diproses dan output gambar digital atau raster grafis file gambar . Data yang terkandung dalam file scene ini kemudian diteruskan ke program render untuk diproses dan output gambar digital atau raster grafis file gambar . Sebuah GPU adalah perangkat tujuan dibangun dapat membantu CPU dalam melakukan perhitungan render secara kompleks . Jika scene adalah untuk melihat relatif realistis dan dapat diprediksi di bawah pencahayaan virtual, perangkat lunak render harus memecahkan persamaan rendering. Persamaan render tidak memperhitungkan semua fenomena pencahayaan , tetapi model penerangan umum untuk komputer-generated imagery . ' Rendering ' juga digunakan untuk menggambarkan proses menghitung efek dalam program editing video untuk menghasilkan output video akhir . Rendering merupakan salah satu sub topik utama dalam 3D computer graphics. Dan pada prakteknya selalu berhubungan dengan aspek-aspek yang lain. Seperti Graphic pipeline, yang merupakan tahapan terakhir, memberikan tampilan akhir pada model dan animasi. Rendering tidak hanya digunakan pada game programming. Rendering juga sering digunakan untuk desain arsitektur, simulator, movie atau juga spesial effect pada tayangan televisi, dan design visualization. Setiap bidang tadi mempunyai perbedaan dalam keseimbangan antara features dan tehnik dalam rendering. Terkadang rendering juga diintegrasikan dengan model yang lebih besar, paket animasi, terkadang juga berdiri sendiri dan juga terkadang free open-source product. Dalam bidang 3D Graphics sendiri rendering harus dilakukan secara cermat dan teliti. Maka dari itu terkadang dilakukan pre rendering sebelum rendering dilaksanakan. Per rendering sendiri adalah proses pengkomputeran secara intensif ,yang biasanya digunakan untuk pembuatan film, menggunakan graphics card dan 3D hardware accelerator untuk penggunaan real time rendering. Rendering merupakan sebuah proses untuk menghasilkan sebuah citra 2D dari data 3D. Prose ini bertujuan untuk untuk memberikan visualisasi pada user mengenai data 3D tersebut melalui monitor atau pencetak yang hanya dapat menampilkan data 2D.

Rendering adalah proses mentransformasikan file scene blender secara 2D dan 3D menjadi output gambar atau video. Kecepatan rendering bergantung pada CPU dan Graphic card (VGA) yang digunakan lebih dikenal dengan GPU. Sebelum melakukan render tentu kita harus menentukan posisi kamera, pencahayaan supaya menghasilkan hasil output yang baik. Rendering adalah sebuah gambar output dari scene 3D atau suatu object. Fitur-fitur seperti materials, lighting, oversampling dan shadows memiliki pengaruh dalam efek dan kualitas hasil rendering. Semakin banyak fitur yang ditambahkan , maka semakin realistik hasilnya, akan tetapi akan mempengaruhi lama waktu rendering.

Tahap-tahap di atas merupakan urutan yang standar dalam membentuk sebuah obyek untuk pemodelan, dalam hal ini texturing sebenarnya bisa dikerjakan overlap dengan modeling, tergantung dari tingkat kebutuhan. Rendering adalah proses akhir dari keseluruhan proses pemodelan ataupun animasi komputer. Dalam rendering, semua data-data yang sudah dimasukkan dalam proses modeling, animasi, texturing, pencahayaan dengan parameter tertentu akan diterjemahkan dalam sebuah bentuk output. Dalam standard PAL system, resolusi sebuah render adalah 720 x 576 pixels.

Bagian rendering yang sering digunakan:

Field Rendering

Field rendering sering digunakan untuk mengurangi strobing effect yang disebabkan gerakan cepat dari sebuah obyek dalam rendering video.

Shader

Shader adalah sebuah tambahan yang digunakan dalam 3D software tertentu dalam proses special rendering. Biasanya shader diperlukan untuk memenuhi kebutuhan special effect tertentu seperti lighting effects, atmosphere, fog dan sebagainya.

Texturing

Texturing adalah proses pemberian gambar tertentu pada permukaan objek agar terkesan lebih realistis. Atau bisa diartikan lain adalah proses pemberian karakteristik permukaan pada objek. Maksud dari karakteristik adalah pewarnaan, kilauan, dan lainnya. Pada umumnya teksturing bisa disebut juga pemberian warna pada permukaan objek atau pengecatan, walaupun ada proses yang mengubah geometri objek. Namun texture mempunyai arti berbeda dengan texturing. Texture dapat dikatakan sebagai suatu gambar aktual warna dari material yang membantu menjelaskan atau memperhalus.

Proses texturing ini untuk menentukan karakterisik sebuah materi obyek dari segi tekstur. Untuk materi sebuah object bisa digunakan aplikasi properti tertentu seperti reflectivity, transparency, dan refraction. Texture kemudian bisa digunakan untuk meng-create berbagai variasi warna pattern, tingkat kehalusan/kekasaran sebuah lapisan object secara lebih detail.

Image dan Display

Merupakan hasil akhir dari keseluruhan proses dari pemodelan. Biasanya obyek pemodelan yang menjadi output adalah berupa gambar untuk kebutuhan koreksi pewarnaan, pencahayaan, atau visual effect yang dimasukkan pada tahap teksturing pemodelan. Output images memiliki Resolusi tinggi berkisar Full 1280/Screen berupa file dengan JPEG,TIFF, dan lain-lain. Dalam tahap display, menampilkan sebuah bacth Render, yaitu pemodelan yang dibangun, dilihat, dijalankan dengan tool animasi. Selanjutnya dianalisa apakah model yang dibangun sudah sesuai tujuan. Output dari Display ini adalah berupa *.Avi, dengan Resolusi maksimal Full 1280/Screen dan file *.JPEG.

Ada beberapa metode yang digunakan untuk pemodelan 3D. Metode pemodelan obyek disesuaikan dengan kebutuhannya seperti dengan nurbs dan polygon ataupun subdivision. Modeling polygon merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan. Untuk mendapatkan permukaan yang halus, dibutuhkan banyak bidang polygon. Bila hanya digunakan sedikit polygon, maka object yang didapatkan akan terbagi menjadi pecahan-pecahan polygon.

Sedangkan Modeling dengan Nurbs (Non-Uniform Rational Bezier Spline) adalah metode paling populer untuk membangun sebuah model organik. Hal ini dikarenakan kurva pada Nurbs dapat dibentuk dengan hanya tiga titik saja. Dibandingkan dengan kurva polygon yang membutuhkan banyak titik (verteks) metode ini lebih memudahkan untuk dikontrol. Satu titik CV (Control verteks) dapat mengendalikan satu area untuk proses tekstur.